Gesetz der Serie

149292607_9e5def208cAuf dem KarriereBibel-Blog gab es vor kurzem eine Liste mit den 20 Gesetzen der Serie die man laut Autor kennen sollte. Ein Blick darauf lohnt sich und ist bei dem ein oder anderen „Gesetz“ auch recht amüsant :).

Hier einige Beispiele vom Blog:

Das Benfordsche Gesetz beschreibt, dass in empirischen Datensätzen bestimmte Ziffernstrukturen häufiger vorkommen als andere. So gilt etwa für die Anfangsziffern in Zahlen des Zehnersystems, dass Zahlen mit der Anfangsziffer 1 rund 6,5-mal häufiger auftreten als solche mit der Startziffer 9. Entdeckt hatte das schon der Mathematiker Simon Newcomb als er bemerkte, dass in Büchern mit Logarithmentafeln die Seiten mit Tabellen mit der Anfangsziffer 1 verschmutzer (also benutzter) waren als andere Seiten.

Mit dem ersten Fick’sche Gesetz beschrieb Adolph Fick die Geschwindigkeit des Diffusionsvorgangs.

Das Hermann-Ebbinghaus-Gesetz lautet sinngemäß: Geringfügig mehr Lernstoff erfordert beträchtlich mehr Wiederholungen. Die Erkenntnisse des Psychologen sind im Volksmund auch als Lernkurve bekannt.

Das Parkinson’sche Gesetz geht auf den britischen Historiker und Publizist Cyril Northcote Parkinson zurück. Danach dehnt sich Arbeit in genau dem Maß aus, wie Zeit für ihre Erledigung zur Verfügung steht – und nicht etwa wie viel Zeit man tatsächlich dafür bräuchte. Deshalb sollte man sich immer eine Deadline setzen.

Der Blog listet im gleichen Artikel außerdem noch Namhafte Effekte, Alltägliche Phänomene und Nützliche Methoden.

Kleines Matherätsel II – Wo ist der Fehler?

Da ich in letzter Zeit öfters Matherätsel im Netz sehe und die ganz cool finde, wollte ich euch auch mal eins spendieren ;).
Die Frage lautet, wo liegt der Fehler der folgenden Umformung?

Ausgangsgleichung:
a = b

Wir multiplizieren beide Seiten mit a:
a2 = ab

Wir addieren auf beiden Seiten a2 – 2ab:
a2 + a2 – 2ab = ab + a2 – 2ab

Wir vereinfachen zu:
2(a2 – ab) = a2 – ab

Wenn wir jetzt beide Seiten durch a2 – ab teilen, erhalten wir:
2 = 1

Doch das kann ja nicht stimmen, wo ist also der Fehler?
Wer ihn findet, bekommt als Belohnung einen Backlink aus diesem Thread hier ;).
Oder, wenn kein Blog vorhanden ist, einfach so ein Lob :D.

Kleines Matherätsel I – Wo ist der Knick?

Hier mal ein kleines mathematisches Rätsel:

Ein 7m hoher Mast ist durch starken Wind umgeknickt. Dadurch ist das Bild wie unten zu sehen entstanden, die Frage ist jetzt, auf welcher Höhe ist der Mast umgeknickt?

Image1

Für den Anfang was leichtes, als Tipp, das kann man ab der 5./6. Klasse schnell lösen ;).
Der erste mit der Lösung bekommt einen netten Backlink. Oder eben ein Lob, wenn derjenige keinen Blog hat :).

Numerisches Integrieren mit dem Simpson Verfahren (in Java)

Hier gibt es nun den ersten Teil einer neue Reihe, der Numerik. Ich werde hier einige Verfahren zeigen mit denen man auf numerischen Wege zu einem Ergebnis kommt, für das sonst komplexere Formeln und Umwandlungen nötig wären. Die numerischen Verfahren liefern im besten Fall genau das gleiche Ergebnis wie der Standard-Algorithmus, im schlechtesten Fall einen Näherungswert.

Wir wollen uns am Anfang auf die numerische Integration konzentrieren, also das lösen eines Integrals ohne die Gleichung selber integrieren zu müssen.

Dies geschieht in unserem Fall mit der bekannten Simpson-Regel. Wikipedia sagt dazu:

Die Simpsonregel (auch simpsonsche Formel) ist ein Verfahren der numerischen Quadratur, bei dem eine Näherung zum Integral einer Funktion f(x) im Intervall [a,b] berechnet wird, indem man die Kurve f(x) durch eine Parabel annähert.

Die Formel die wir anwenden lautet:

Die Grenzen des Intervals über das integriert werden soll werden als a und b bezeichnet. a ist dabei die untere Grenze, b die Obere.

Weiterhin gilt:

Sieht auf den ersten Blick kompliziert aus, ist aber in der Handhabung sehr einfach, vor allem wenn man die Formel in Java umsetzt, wie wir später noch sehen werden.

Als Beispiel errechnen wir zuerst das Integral:

über dem Interval von a = 0 bis b = 5.
Hierbei erhalten wir dann die Lösung 41,66666667.

Nun wenden wir das numerische Verfahren, also die Simpson Regel an:

Wir wählen n = 8 (dies ist beliebig, muss jedoch den oben genannten Kriterien entsprechen!), errechnen damit h = 5/8 (Die Grenzen des Intervals bleiben selbstverständlich gleich).

Nun erstellen wir eine Tabelle mit den Werten der xi (Werte die x0 bis xn zugeordnet werden):

xi 0 5/8 10/8 15/8 20/8 25/8 30/8 35/8 40/8
f(xi) 0 25/64 100/64 225/64 400/64 625/64 900/64 1225/64 1600/64

Einsetzen in die Simpson Formel:

Durch einsetzen der errechneten xi Werte in die oben genannte Gleichung erhalten wir als Ergebnis: 41,66666667. Also genau das gleiche wie bei der obigen normalen Integration. Die Simpson Regel scheint also ziemlich genau zu sein, was sie auch ist. Sie kann sehr gut als Ersatz für eine Integration genutzt werden, wenn zum Beispiel keine Integralrechnung zur Verfügung steht oder eine Optimierung auf Additionen und Multiplikationen erfolgt.

Die Java Umsetzung der Simpson Regel:

Das Ganze kann dann natürlich vereinfacht mit Java umgesetzt werden, dies erspart einem die langwierige Ausrechnung der Endformel, vor allem wenn es mehr als 8 Schritte (Stützstellen) werden sollten.

package simpson;
 
public class Start {
 
	public static void main(String[] args) {
 
		// Untere Grenze des Intervals
		double a = 0;
		// Obere Grenze des Intervals
		double b = 5;
		// Anzahl der Schritte (n)
		int nn = 8;
		double[] data = new double[nn + 1];
		// Berechnung von (h)
		double h = (b - a) / nn;
 
		System.out.println("Die Simpson-Regel in Java");
 
		// Füllen der Tabelle mit den xi Werten
		for (int i = 0; i <= nn; i++) {
 
			data[i] = a + i * h;
 
		}
 
		// f(x0)
		double erg = 0;
		erg += Math.pow(data[0], 2);
 
		// f(x1) bis f(xn-1)
		for (int y = 1; y < nn; y++) {
 
			if (y % 2 == 0)
				erg += 2 * (Math.pow(data[y], 2));
			else
				erg += 4 * (Math.pow(data[y], 2));
 
		}
 
		// f(xn)
		erg += Math.pow(data[nn], 2);
 
		// Ausgabe der Lösung
		System.out.println("Ergebnis: " + (h / 3) * erg);
 
	}
 
}

Hier wurde das gleiche Beispiel wie oben verwandt. Eine Anpassung an ein anderes Integral sollte keine Probleme darstellen. Ebenso nicht die Erhöhung der Schrittzahl.